Константин Алексеевич родился в 1894 г. в селе Желанья Смоленской области в семье священника. Учился в гимназии в г. Вязьме, а затем, с 1911 г., на медицинском факультете Московского университета. После окончания обучения служил в армии, был врачом полка и, вскоре, ординатором в дивизионном лазарете. С 1919 по 1920 г. работал участковым врачом в деревне, затем в больнице НКЗ г. Вязьмы.
После демобилизации в 1922 г. заведовал участком и подрабатывал на заводе. С 1925 г. стал заведующим неврологическим отделением психиатрической больницы г. Владимира, а с 1926 г. – отделением Рязанского психиатрического стационара. В 1927 г. К.А. Скворцов переехал в Москву, где был вначале ординатором, а в последующем – заведующим отделением Донской психоневрологической больницы (ныне им. Соловьева), главным врачом которой был В.А. Гиляровский.
Защитив под его руководством кандидатскую диссертацию (1935), стал приват-доцентом кафедры психиатрии 2-го ММИ, занимался с молодыми врачами и студентами, особенно в области психотерапии. В 1941–1943 гг. служил в Военно-Морской медицинской академии, вел там преподавание. Кроме того, был старшим врачом Московской областной психиатрической больницы. С 1930 по 1941 г. по совместительству консультировал в соматических больницах и клиниках в ММИ, неоднократно выступал с докладами на конференциях.
Основные интересы лежали в клинике и терапии пациентов с соматической, психической и неврологической патологией. В 1938–1939 гг. организовал при 2-й больнице небольшое отделение для больных с психическими нарушениями на фоне соматического неблагополучия. В 1939–1941 гг. работал в Онкологическом и Рентгеновском институтах. Выступал там с несколькими докладами. С 1942 г. был консультантом и научным руководителем Кировской психиатрической больницы. В 1944 г. вернулся в Москву, где заведовал лечебной частью Московской областной больницы, а с момента организации Института психиатрии АМН СССР в 1945 г. по предложению академика В.А. Гиляровского стал заведующим сомато-психиатрическим отделением. Был первым сотрудником, приглашенным Гиляровским в создаваемый им институт. Продолжал работать в прежних направлениях, изучал нарушения нервно-психической сферы при длительных соматических болезнях, особенно при онкологических заболеваниях, последствия и влияние на нервную систему войны, роль нервно-психического фактора в деле лечения пациента и в организации видов лечебной помощи, методики психотерапии соматического больного.
В 1947 г. К.А. Скворцову присвоена степень доктора медицинских наук, а в 1948 был утвержден в ученом звании профессора. В 1959–1962 гг. он заведовал клиникой шизофрении, сменив на этой должности проф. Е.Н. Каменеву. Был консультантом 4-го главного управления Минздрава и больницы Академии наук СССР.
В 1958 г. издана монография «Очерки по психотерапии соматического больного», а в 1959 г. – «Нервно-психические нарушения при раке», выполненная в соавторстве с В.А. Ромасенко. Всего им опубликовано 78 научных работ в отечественных и зарубежных изданиях.